Вынужденные колебания и контактное взаимодействие структуры, состоящей из двух параллельных пластин с внутренним набором локальных ребер, применяемой в теории гироскопов

Abstract

Актуальность исследования обусловлена необходимостью разработки алгоритмических методов повышения надежности и точности работы гироскопических приборов, которые находят свое применение в нефтегазовой промышленности, так как прочность, точность и стойкость к высокой температуре датчиков чрезвычайно важна во время бурения для контроля пространственной ориентации скважин и скважинных объектов. Цель работы заключается в построении математической модели вынужденных колебаний и контактного взаимодействия структуры, состоящей из двух пластин с внутренним набором ребер и зазорами между элементами, которая найдет свое применение в теории гироскопов. Для исследования подобных конструктивно-нелинейных задач применены методы качественной теории дифференциальных уравнений, вейвлет-анализ, три метода (Вольфа, Розенштейна, Канца) для анализа знака старшего показателя Ляпунова, численное моделирование с использованием программного пакета MATLAB. Решение проведено методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях по пространственной координате и методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности по времени. Результаты. Изучено влияние количества ребер между пластинами на характер их колебаний и контактное взаимодействие при продольном нагружении на верхнюю пластину. В ходе проведенных исследований выявлены сценарии перехода системы из гармонического в хаотическое состояние. Рассмотрены две задачи: 1) внутренний набор ребер состоит из двух балок, 2) внутренний набор ребер состоит из трех балок. Выявлено, что при хаотическом режиме в обеих задачах наблюдается явление перемежаемости частот, то есть смена интервалов времени с разными частотами и разными характерами колебаний. Достоверность решения обеспечена применением различных методов определения старшего показателя Ляпунова, сравнением результатов, полученных методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей.

The relevance of the study is caused by the need to develop algorithmic methods for improving the reliability and accuracy of gyroscopic devices, which are used in oil and gas industry. Strength, accuracy and resistance to high temperature of the sensors are extremely important while drilling, to control spatial orientation of wells and downhole objects. The aim of work is to construct a mathematical model of the constrained oscillations and contact interaction of the structure consisting of two plates with the internal set of ribs and gaps between the elements, which will be used in the gyroscopes theory. To study such structural and nonlinear problems the authors have applied the methods of qualitative theory of differential equations, wavelet analysis, three methods (Wolf, Rosenstein, Kantz) for analyzing the sign of the highest Lyapunov exponent, numerical simulation using MATLAB software package. The solution was obtained by the Bubnov-Galerkin method in higher approximations in space coordinate and by the Runge-Kutta method of the 4th order of accuracy in time. Results. The authors studied the effect of the number of ribs between the plates on character of their oscillations and contact interaction with longitudinal loading on the top plate, and identified the scenarios of transition of the system from harmonic into a chaotic state. The paper deals with two tasks: 1) the inner set of ribs consists of two beams, 2) the inner set of ribs consists of three beams. It was revealed that in chaotic regime in both tasks the frequency intermittency phenomenon is observed, that is changing time intervals with different frequencies and different oscillation modes. The reliability of the solution is provided by application of different methods for determining the highest Lyapunov exponent, by comparing the results obtained by the Bubnov-Galerkin method and finite difference method.