Метод решения однопараметрических линейных матричных уравнений, основанный на дифференциальных преобразованиях

Abstract

Актуальность работы обусловлена необходимостью разработки нового эффективного метода определения непрерывных решений однопараметрических линейных матричных уравнений, достаточно часто встречающихся в различных областях науки и техники, таких как идентификация параметров электротехнических (вероятно электромеханических) преобразователей энергии, оптимизация параметров электрических сетей, регистрация и обработка измерений скважинной геофизики и др. Цель исследования: разработка простого конструктивного численно-аналитического метода определения решений отмеченного класса задач, легко реализуемого средствами современных информационных технологий. Методы исследования. Для решения рассматриваемых задач в работе использованы методы матричной линейной алгебры, методы теории матриц, а также прямые и обратные дифференциальные преобразования Г.Е. Пухова, отличающиеся от общеизвестных интегральных преобразований достаточно положительными характеристиками - операцией дифференцирования вместо операции интегрирования (прямое преобразование) и операцией суммирования вместо операции интегрирования (обратное преобразование). Результаты. Предложен конструктивный численно-аналитический метод решения однопараметрических линейных матричных уравнений применением дифференциальных преобразований. При этом решение исходной непрерывной задачи фактически сводится к решению рекуррентной цепочки некоторых линейных систем алгебраических уравнений с числовой инвариантной гиперматрицей и гипервекторами (составными векторами) свободных членов правых частей, при которых определяются матричные дискреты решения исходной задачи. Далее на основе некоторого восстанавливающего соотношения (обратных дифференциальных преобразований) определяется непрерывное решение исходной задачи. Рассмотрен модельный пример, при решении которого предложенным численно-аналитическим методом получено точное маклореновское аналитическое решение, подтверждающее простоту и высокую вычислительную эффективность метода.

The relevance of the research is caused by the need to develop a new efficient method for defining continuous solutions of one-parametric linear matrix equations, often found in various studies, such as identification of electromechanical energy transformer parameters, optimization of electrical circuits parameter, registration and processing of borehole geophysics measurements, etc. The aim of the research is to develop a simple constructive numerical-analytical method for determining the solution of the mentioned class of problems, which is easy to implement by the modern information technology. The investigation methods. For solving the considered problems, the authors have applied the method of matrix linear algebra, matrix theory method, as well as the direct and inverse differential transforms of G.E. Pukhov, which differ from the well-known integral transforms by rather positive characteristics - a differentiating operation instead of integrating operations (direct transformation) and a summing operation instead of integrating operation (inverse transformation). The results. The authors proposed the constructive numerical-analytical method for solving one-parametric linear matrix equations by using differential transformation. In this case, the solution of the original continuous problem is actually reduced to solving the recurrent chain of some linear systems of algebraic equations by numerical invariant hypermatrix and hypervectors of free members of the right parts, when the matrix discretes for solving the original problem are determined. Then, on the basis of a reducing ratio (inverse differential transformations) the continuous solution of the original problem is determined. The paper considers the model example. Solving this example the exact Maclaurin analytical solution confirming the simplicity and the high computational efficiency of the method is obtained by numerical-analytical method. Conclusions. The proposed constructive numerical-analytical method is based on two basic mathematical apparatus - the operating method of differential transformation and information solutions obtained with the recurrence of linear matrix equations to solve the recurrence of equivalent linear systems of algebraic equations in the widespread use works of kronikorov numerical matrices.