Нелинейная динамика микроэлектромеханических систем резонаторов в виде прямоугольных в плане сферических оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности

Abstract

Актуальность. В связи с тем, что разведка полезных ископаемых - высоко технологичный процесс, актуальным является создание методов построения новых математических моделей, наиболее близко учитывающих истинную работу элементов микроэлектромеханических систем. Микроэлектромеханические системы - перспективные приборы современной микросистемной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления. Эти системы характеризуются уникально малыми массой и габаритами, низким потреблением электроэнергии, возможностью функционирования в жестких условиях эксплуатации и на несколько порядков меньшей стоимостью, чем их традиционные аналоги. Цель работы: построение математической модели, наиболее полно отражающей реальную работу приборов микроэлектромеханических систем. Для этого следует учитывать большие перемещения, нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями, ударные нагрузки, температурные поля. Создание численных методов, которые позволят рассматривать распределенные механические структуры как системы с бесконечным числом степеней свободы. Анализ характера сложных нелинейных колебаний разработанных математических моделей. Выявление областей неустойчивого решения рассматриваемых элементов резонаторов микроэлектромеханических систем, связанных с хаотическими колебаниями. Методы: вариационные методы, численные методы сведения уравнений в частных производных к задаче Коши - метод конечных разностей 2-го порядка точности; решение задачи Коши методами типа Рунге-Кутта; методы качественного исследования нелинейной динамики: Фурье, вейвлет анализа, сечение Пуанкаре, фазовый портрет. Результаты исследования и выводы. Установлено, что переходные процессы зависят от геометрических и физических параметров оболочки, частоты вынуждающих колебаний и некоторых других параметров, т. е. единого сценария перехода колебаний из гармонических в хаотические нет. Характер колебаний существенно зависит от интенсивности деформаций. Выявлено, что наиболее часто встречающимся сценарием является сценарий Рюэля-Такенса. Для некоторых значений кривизны получены модификации этого сценария.

The relevance. Due to the fact that mineral exploration is a high-tech process, the development of methods of constructing new mathematical models, most closely taking into account the true elements of microelectromechanical systems, is important. Microelectromechanical system is a promising instrument of modern Microsystems technology, intensively and dynamically developing scientific and technical direction. The systems are characterized by the unique small weight and size, low power consumption, capable of functioning in harshenvironments and the cost, which is several times lower than that of their traditional analogues. The main aim of the study is to construct the mathematical model, which would reflect more complete the real operation of microelectromechanical systems devices. To do this, one should consider large displacements, stress-strain nonlinear dependence, impact load, temperature field. To design the numerical methods that will allow us to consider a distributed mechanical structure as a system with infinite number degrees of freedom; to analyze the nature of complex nonlinear oscillations of the developed mathematical models; to identify the areas of unstable solution of the considered elements of microelectromechanical systems devices, associated with chaotic oscillations. The methods: variational methods, methods of mathematical physics, computational methods to reduce the equations to the Cauchy problem - the method of finite differences of the 2nd order of accuracy; solution of the Cauchy problem by the methods of Runge-Kutta; methods of qualitative study of nonlinear dynamics: Fourier transform, wavelet analysis, Poincare section, phase portrait. The results and conclusions. It is established that the transients depend on the geometrical and physical parameters of the shell, the frequency of the driving oscillations and other parameters, i. e. there is no a unified scenario of transition from harmonic oscillations to chaotic ones. The character of oscillations depends substantially on the intensity of deformation. The authors have revealed that the most common scenario is the Ruelle-Takens one. For some values of curvature the modifications of this script were obtained.