О задаче сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка

Abstract

Актуальность работы обусловлена доказательством корректности задачи сопряжения для линейного гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка с младшими членами. Цель работы: доказательство существования и единственности решения задачи сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка, когда условия сопряжения задаются на не характеристической линии Методы исследования: Методом функции Римана и интегральных уравнений разрешимость задачи эквивалентным образом сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода, решение которого устанавливается методом последовательных приближений. Результаты: В работе исследована разрешимость задачи сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка с младшими переменными коэффициентами. Установлено, что когда порядок уравнения равен четырем и условия сопряжения задаются на не характеристической линии, то для корректности задачи, вместо обычных двух условий склеивания, необходимо задание четырех условий склеивания. Особенностью данной задачи является то, что условия сопряжения задаются не на координатной оси, а на биссектрисе первой четверти плоскости. С целью определения следа искомой функции и ее производных второго, третьего, четвертого порядков на линии изменения типа уравнений, а также для получения явного представления решения, построены функции Римана для линейного гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка, определяемые как решения соответствующих сопряженных задач Гурса. Изучены некоторые свойства функции Римана, и получены представления решения задачи Коши для линейного гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. Разрешимость задачи сопряжения установлена эквивалентным сведением ее к разрешимости системы четырех линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказаны теоремы существования и единственности решений задачи сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка.

Relevance of the research is considered by the proof of correctness of the conjugation problem for linear hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations with low figures. The main aim of the research is to prove the existence and uniqueness of solution for conjugation problem for hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations when matching conditions are specified not on a characteristic line. The methods used in the study: Using Riman's function and integral equations methods and equivalent model the solution of the problem is reduced to the solution of the Fredgolm integral equations system of the second order where the solution is attained by the consequent approximation method. The results: The author has studied the solvability of the conjugation problem for hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations with low variable coefficients. It was ascertained that when the equation order equals four, and matching conditions are specified not on the characteristic line, four gluing conditions should be specified for the problem correctness instead of usual two gluing conditions. The peculiarity of the problem is that the matching conditions are set not on the coordinate axis but on the bisector of the plane first quarter. In order to determine the unknown function trace and its derivatives of the second, third and fourth orders of changes in the line-type equations, as well as to obtain an explicit solution representation, Riemann functions were constructed for linear hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations that are defined as solutions of the corresponding Goursat conjugate problems. The author studied some properties of the Riemann function and obtained the solution representations for the Cauchy problem for linear hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations with variable coefficients. Solvability of the conjugation problem was obtained by its equivalent reduction to the solvability of the system of four linear Fredholm integral equations of the second kind. The theorems of existence and uniqueness of solutions of the conjugation problem for hyperbolic and pseudoparabolic fourth-order equations were proved.