Варианты применения метода наименьших квадратов в аппроксимациях Шишковского и Розина-Раммлера

Abstract

Актуальность исследования обусловлена необходимостью развития и оптимизации математического аппарата для обработки результатов лабораторных экспериментов и повышения адекватности получаемых результатов. Целью работы является создание альтернативных способов определения параметров зависимостей Шишковского и Розина-Раммлера, которым подчиняются процессы адсорбции поверхностно активного вещества из водного раствора на твёрдых адсорбентах и осаждения взвешенных частиц в седиментационном анализе. Методы. Основным методом определения параметров двухпараметрических зависимостей является метод наименьших квадратов. Стандартный подход основан на поиске минимума функции двух переменных вычислительными способами нелинейного программирования. В качестве необходимых условий минимума целевой функции используются уравнения, получаемые путём приравнивания к нулю производных целевой функции по каждому из параметров. Рассмотрены альтернативные подходы получения явных формул и сведение к решению трансцендентного уравнения. Результаты. Для двухпараметрических зависимостей Шишковского и Розина-Раммлера предложены альтернативные подходы определения неизвестных параметров. При стандартном подходе решение задачи основано на численной минимизации функции двух переменных методами нелинейного программирования. Предложен подход, в котором уравнения Шишковского и Розина-Раммлера подвергаются некоторым эквивалентным преобразованиям так, чтобы использование необходимых условий минимума позволяло получить линейное уравнение хотя бы в отношении одного из искомых параметров. Это ведёт к упрощению вычислений, требуется численно решить одно трансцендентное уравнение, второй параметр тогда определяется по явной формуле. А для зависимости Розина- Раммлера удалось в одном из предлагаемых вариантов вообще получить явные формулы для нахождения обоих параметров.

Relevance. The need to develop and optimize the mathematical apparatus for processing the results of laboratory experiments and increasing the adequacy of the results obtained. Aim. To create alternative methods for finding the parameters of the Szyszkowski and Rosin-Rammler dependencies, which are subject to surfactant adsorption from an aqueous solution on solid adsorbents and deposition of suspended particles in sedimentation analysis. Methods. The main method for determining the parameters of two-parameter dependencies is the least squares method. The standard approach is based on finding the minimum of a function of two variables by computational methods of nonlinear programming. The equations, obtained by equating the derivatives of the objective function for each of the parameters to zero, are used as necessary conditions for the minimum of the objective function. The paper considers alternative approaches to obtaining explicit formulas and reduction to the solution of the transcendental equation. Results. For the two-parameter dependencies of Szyszkowski and Rosin-Rammler, the alternative approaches for determining unknown parameters are proposed. In the standard approach, solving the problem is based on numerical minimization of a function of two variables by nonlinear programming methods. The authors propose the approach, in which the Szyszkowski and Rosin-Rammler equations are subjected to some equivalent transformations so that the use of the necessary minimum conditions makes it possible to obtain a linear equation with respect to at least one of the required parameters. This leads to simplification of calculations, it is required to solve one transcendental equation numerically, the second parameter is then determined by an explicit formula. And for the Rosin- Rammler dependence, in one of the proposed variants, it was possible to obtain explicit formulas for finding both parameters.