Наибольшая степень устойчивости трёхмассовой системы с регулятором пониженного порядка

Abstract

Трёхмассовая система определяется шестью параметрами (три массы и три жёсткости), и эти шесть параметров фиксированы. Актуальность. Задача определения наибольшей степени устойчивости является насущной и актуальной темой линейной теории автоматического управления. В данной работе наибольшая степень устойчивости исследуется для класса объектов, наиболее часто рассматриваемых в качестве моделей. Цели исследования. В качестве объекта управления рассматривается произвольная трёхмассовая система, то есть любые массы и жёсткости. Эта трёхмассовая система рассматривается как одноканальная, управляемая регулятором 3/3 (числитель передаточной функции которого - полином степени не более чем 3, а знаменатель - полином степени 3). Управляющая cила приложена к массе, ближайшей к неподвижному основанию; регулируемая величина - отклонение третьей массы. Рассматривается также случай, когда управляющая cила приложена к наиболее удалённой от основания массе, а регулируемая величина - отклонение первой массы. Исследуется наибольшая (максимальная, предельная) степень устойчивости. Работа опирается, прежде всего, на следующее утверждение, доказанное в более раннем и более объёмном исследовании: для любой трёхмассовой системы наибольшую степень устойчивости обеспечивают регуляторы, для которых корни характеристического полинома с наибольшей вещественной частью образуют четырёхкратную комплексную пару. Методы. Для произвольного фиксированного объекта, пробегая регуляторы 3/3, характеристические полиномы образуют некоторый класс полиномов девятой степени со старшим коэффициентом 1 с двумя линейными связями. В классе этих полиномов ищется устойчивый полином с наибольшей степенью устойчивости. Затем по этому полиному восстанавливается регулятор, обеспечивающий эту устойчивость. Результаты. Положение девятого корня зависит исключительно от значения одного параметра объекта. Приведена инструкция по вычислению этого параметра объекта, наибольшей степени устойчивости, характеристического полинома и регулятора 3/3, обеспечивающего эту устойчивость. Вычисления проделаны на следующем примере: массы и жёсткости равны единице. Оказалось, что в этом случае девятый корень характеристического полинома не является самым правым. Выводы. Данная работа может служить основой методики вычисления наибольшей степени устойчивости и регуляторов пониженного порядка, обеспечивающих эту устойчивость, и для других управляемых одноканальных систем пониженного порядка.

A three-mass system is defined by six parameters (three weights and three rigidity), and these six parameters are fixed. Relevance. The problem of defining the maximum stability degree is an essential and urgent topic of the linear theory of automatic control. The paper considers the maximum stability degree for a class of objects which are considered most often as models. Research objectives. Any three-mass system, that is any masses and rigidity, is considered as a control object. This three-mass system is considered as a single?channel, operated by a regulator 3/3 (polynomial of a degree no more than 3 is the numerator of a transfer function, and a denominator is a polynomial of degree 3). Steering force is applied to the weight closest to the motionless basis; adjustable size is a deviation of the third weight. The paper considers as well the case when the steering force is applied to the weight most remote from the basis, and the adjustable size is a deviation of the first weight. The maximum (limiting) stability degree is investigated. The paper is guided first of all by the following statement proved in earlier and more volume research: for any three mass systems the maximum stability degree is provided by controllers for which the roots of a characteristic polynomial with the greatest material part form quadruple complex pair. Methods. For any fixed object, running controllers 3/3, the characteristic polynomials form some class of polynomials of the ninth degree with the senior factor 1 with two linear communications. In the class of these polynomials the steady polynomial with the maximum stability degree is sought. Then the controller providing this stability is restored by this polynomial. Results. The position of the ninth root depends only on value of an object one parameter. The paper introduces the instruction on calculation of this parameter of the object, the maximum stability degree, a characteristic polynomial and a controller 3/3 providing this stability. The calculations were carried out on the following example: weights and rigidity are equal to a unit. It turned out that in this case the ninth root of a characteristic polynomial is not the most right. Conclusions. The paper can form a basis of a technique of calculating the maximum stability degree and lower-order controllers providing this stability, and for other operated single?channel lower-order systems.