Нелинейная динамика топологически оптимальной нано балки Тимошенко на основе модифицированной моментной теории

Abstract

Актуальность исследования. Для контроля данных технических операций бурения скважин, различного вида ремонта скважин, геологоразведочного бурения в нефтяной и газовой промышленности на буровых и ремонтных установках всех типов используются технологические датчики (датчики нагрузки, давления, температуры жидкости, выхода раствора, плотности жидкости). Современные датчики имеют малые размеры и для повышения чувствительности изготавливаются на базе наноэлектромеханических систем, которые включают в себя составляющие элементы, нано балки и нанопластины. Эти элементы работают при высоких температурах и подвергаются механическим нагрузкам различного вида. Увеличение прочности этих элементов является несомненно актуальной задачей. Цель: построить математическую модель на базе кинематической гипотезы Тимошенко и модифицированной моментной теории чувствительного элемента в виде балки, нано электромеханического датчика под действием механических и тепловых полей; создать методологию получения оптимальной топологии нано балки для произвольной статической и динамической нагрузки и различных граничных условий с целью увеличения ее жесткости; провести сравнительный анализ статики и нелинейной динамики оптимальной и неоптимальной балок. Объекты: элемент наноэлектромеханических систем в виде балки с учетом оптимальной микроструктуры. Методы: методы топологической оптимизации, вариационные методы, метод конечных разностей второго порядка, методы типа Рунге-Кутта, Фурье и вейвлет анализ, фазовый портрет и сечение Пуанкаре. Результаты. Построена методология получения оптимальной микроструктуры нано балки на основе топологической оптимизации. На основе принципа Гамильтона-Остроградского построена математическая модель неоднородной в двух направлениях (по толщине и длине) нано балки Тимошенко на базе модифицированной моментной теории. Проведен сравнительный анализ статического изгиба и нелинейной динамики оптимальной и неоптимальной нано балок.

The relevance of research. Technological sensors (sensors of load, pressure, liquid temperature, solution yield, liquid density) are used for monitoring data of technical operations of well drilling, various types repair of well, exploration drilling in the oil and gas industry on drilling and repair of all types of wells. Modern sensors are small in size and manufactured on the basis of nanoelectromechanical systems to increase sensitivity. They include constituent elements, nano beams and nano plates. These elements operate at high temperatures and are subjected to mechanical loads of various kinds. Increasing the strength of these elements is undoubtedly an urgent task. The main aim of the research is to build a mathematical model on the basis of Timoshenko kinematic hypothesis and the modified couple stress theory of a sensing element in the form of a beam, a nano-electro-mechanical sensor under the action of mechanical and thermal fields; to develop methodology for obtaining the optimal topology of nano beams for arbitrary static and dynamic loads and different boundary conditions in order to increase its rigidity; to conduct a comparative analysis of the statics and nonlinear dynamics of optimal and nonoptimal beams. Objects: element of nanoelectromechanical systems in the form of a beam taking into account the optimal microstructure. Methods: methods of topological optimization, variational methods, second order finite difference method, Runge-Kutta type methods, Fourier and wavelet analysis, phase portrait and Poincare section. Results. A methodology for obtaining the optimal microstructure of the nano beam based on topological optimization is developed. On the basis of the Hamilton-Ostrogradsky principle, a mathematical model of a Timoshenko nano beam inhomogeneous in two directions (in thickness and length) is constructed on the basis of a modified moment theory. A comparative analysis of static bending and nonlinear dynamics was performed for optimal and non-optimal nano beams.