Геостатистический смысл неопределенного множителя Лагранжа в методах ординарного и двойного кригинга

Abstract

Актуальность. При разработке новых методов объемного моделирования вещественного состава геологических сред по данным скважинных и наземных наблюдений ранее авторы выдвинули предположение о возможности альтернативной оценки ошибки с помощью множителя Лагранжа. На практике, в силу малого количества скважинных измерений и большого расстояния между скважинами, важно не только использовать эффективную модель среды, но и оценить ее точность в межскважинном пространстве. Использование простых и понятных оценок точности моделирования является залогом снижения рисков принятия неверного решения по последующему бурению. Метод неопределенных множителей Лагранжа используется при решении экстремальных задач с ограничениями типа равенства. В таких науках, как экономика, статистическая и классическая механика в множители Лагранжа вкладывается экономический или физический смысл, и он приобретает практическое значение. Однако в геостатистике при решении задачи выбора оптимальных методов интерполяции пространственных данных от множителя Лагранжа избавляются на первых этапах решения систем линейных уравнений. В связи с этим отсутствуют как аналитические, так и прикладные исследования его значения. Цель: выяснить смысл множителя Лагранжа при решении систем ординарного и двойного кригинга; разработать новые способы получения нормированных оценок ошибки геостатистического моделирования; провести исследования полученных выражений на реальных материалах, а именно, при решении задач прогноза вещественного состава геологических сред. Методы: ординарный кригинг, двойной кригинг, метод неопределенных множителей Лагранжа, метод Крамера. Результаты. Для проведения исследований предложено в модель набора известных значений прогнозируемого параметра добавить неизвестную составляющую. На основе этой модели проведены аналитические и численные исследования, которые привели к новым выражениям, связывающим вес неизвестной составляющей и ковариационные свойства измерений с множителем Лагранжа. Предложены оценки весовой функции неизвестной составляющей. На примере реальных данных для решения задачи прогноза вещественного состава геологических сред показана практическая значимость множителя Лагранжа при анализе ошибок моделирования.

Relevance. When developing new methods of volumetric modeling of the material composition of geological environment according to borehole and surface observations, the authors previously proposed the possibility of an alternative estimate of the error using the Lagrange multiplier. In practice, due to small number of borehole measurements and large distance between boreholes, it is important not only to use effective model of the medium, but also to estimate its accuracy in the interwell space. The use of simple and understandable estimates of model accuracy is the key to reducing the risks of making incorrect decisions on subsequent drilling. The method of indefinite Lagrange multipliers is used in solving extreme problems with constraints of equality type. In such sciences as economics, statistical and classical mechanics, Lagrange multipliers have economic or physical meaning and become of practical importance. However, in geostatistics, when solving the problem of selection of optimal methods of interpolation of spatial data, Lagrange multipliers are avoided at the first stages of solution of systems of linear equations. In this relation there are no both analytical and applied researches of its value. Objective: to clarify the meaning of the Lagrange multiplier when solving systems of ordinal and double kriging; to develop new ways of obtaining normalized estimates of geostatistical modeling error; to carry out investigations of the obtained expressions on the real materials, namely, in solving the tasks of geological media material composition prediction. Methods: ordinary kriging, double kriging, Lagrange multiplier method, Cramer's method. Results. In order to conduct research it was propose to add an unknown component to the model of the set of known values of the predicted parameter. Based on this model, analytical and numerical studies were conducted, which led to new expressions linking the weight of the unknown component and the covariance properties of the measurements with the Lagrange multiplier. Estimates of the weight function of the unknown component were proposed. The practical importance of the Lagrange multiplier in the analysis of modeling errors is shown on the example of real data for the solution of the problem of predicting the material composition of geological environments.