Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа второго порядка в условии большой загрузки

Abstract

Системы массового обслуживания с повторными вызовами (RQ-системы), моделирующие реальные процессы, возникающие в телекоммуникационных системах, являются новым, активно развивающимся направлением теории массового обслуживания. Однако аналитические формулы получены лишь для систем с входящим простейшим потоком. Большинство же мировых ученых по теории массового обслуживания используют численные методы исследования RQ-систем с входящими не простейшими потоками (например, ММРР, МАР, BMAP). Такие методы имеют естественную границу применимости, связанную с решением систем уравнений большой размерности (система может принимать от 1000 до 500 тыс. состояний). Таким образом, актуальность исследования обусловлена необходимостью разработки аналитических методов изучения RQ-систем с входящим ММРР-потоком. Цель работы: найти асимптотическое распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов в RQ-системе MMPP|GI|1 для достаточно большого числа состояний системы. Методы исследования: метод асимптотического анализа второго порядка в условии большой загрузки. Результаты: Получена асимптотическая (второго порядка) характеристическая функция распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов в RQ-системе MMPP|GI|1. Приведена формула для построения асимптотического распределения вероятностей. Проведенный численный анализ результатов показал, что предлагаемый метод может быть применен для значений загрузки ?>0,8, тогда как метод асимптотического анализа первого порядка может применяться лишь при загрузке ?>0,95. С помощью полученного распределения можно вычислить наиболее важные характеристики системы (например, среднее число заявок в источнике повторных вызовов), которые могут быть использованы при моделировании или оптимизации функционирования реальных экономических и технических систем.

Retrial queuing systems which are mathematical models of real processes in telecommunication systems are a new developing direction of the queuing theory. However the analytical formulas are obtained only for systems with Poisson arrival process. Most of the foreign scientists on queuing theory use different numerical methods for researching retrial queueing systems with not Poisson arrival process (e. g. ММРР, МАР, BMAP). Such methods have a natural limit of applicability related to solving the equations systems of large dimension (from 1000 to 500thousand states). Thus, the urgency of the reserach is caused by the need to develop analytical methods for studying RQ-systems with arrival MMP-process. The main aim of the study is to find the asymptotic probability distribution of the number of calls in the orbit in the retrial queueing system MMPP|GI|1 for a sufficiently large number of states of the system. The methods used in the study: second-order asymptotic analysis method under heavy load condition. The results: The authors have obtained the asymptotic (second-order) characteristic function of the probability distribution of the number of calls in the orbit in the retrial queueing system MMPP|GI|1. The paper introduces the formula for asymptotic distribution construction. The numerical analysis of the results showed that the proposed method can be used to load values ?>0,8, whereas the first-order asymptotic analysis method is applied when load values ?>0,95. When using the obtained asymptotic probability distribution the most important characteristics of the system can be calculated (e. g. the average number of calls in the orbit). They can be used in modeling or optimization of real economic and technical systems operation.