Асимптотика решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения. Случай особой точки на границе

Abstract

При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса, химической кинетики и др. возникают краевые задачи для уравнений эллиптического типа второго порядка с малым параметром при старших производных. Явное решение этих задач построить в общем случае не удается, поэтому используют разные асимптотические методы. Основополагающими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника, М.И. Вишика, A.M. Ильина. В случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет негладкое решение, эти задачи, по терминологии A.M. Ильина, называют бисингулярными. Ранее для построения асимптотики бисингулярно возмущенных задач применялся метод сращивания, а метод пограничных функций не использовался напрямую. В работе предложена модификация метода пограничных функций, благодаря которой стало возможным построить асимптотику решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения. Целью исследования является развитие асимптотического метода пограничных функций для бисингулярно возмущенных задач. Применяя обобщенный метод пограничных функций, построено асимптотическое разложение решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения в случае, когда предельное уравнение имеет особенность на граничных точках области. Задача рассматривается в круге.

For mathematical modeling the convective-diffusive transport, chemical kinetics the boundary value problems occur for elliptic equations of the second order with a small parameter in the highest derivatives. The explicit solution of these problems can be constructed in a general case using different asymptotic methods. The fundamental work in this direction was done by A.N. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, S.A. Lomov, V.B. Butuzov, L.I. Lyustemik, M.I. Vishik, A.M. Ilin. When the corresponding unperturbed equation has a smooth solution these problems are called bisingular in A.M. Ilin terminology. The method of matching was applied before to construct the asymptotic of bisingularly perturbed problems, but the method of boundary functions was not used directly. The author has proposed to modify the method of boundary functions that makes possible the construction of the asymptotic solutions of bisingularly perturbed elliptic equation. The aim of the study is to develop the asymptotic method of boundary functions for bisingularly perturbed equations. Applying the generalized method of boundary functions, the author constructed the asymptotic expansion of the solution for bisingularly perturbed elliptic equation in the case when the limit equation has a singularity at the boundary points of the region. The problem is considered in the circle.